Question

（2012•江西）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是線段AB上的兩點，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4

2

，DE=4．現將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG．
（1）求證：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面體CDEFG的體積．

Answer 1

分析：（1）判斷四邊形CDEF為矩形，然后證明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后證明平面DEG⊥平面CFG．
（2）在平面EGF中，過點G作GH⊥EF于H，求出GH，說明GH⊥平面CDEF，利用VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH求出體積．

解答：解：（1）證明：因為DE⊥EF，CF⊥EF，所以四邊形CDEF為矩形，
由CD=5，DE=4，得GE=

GD2-DE2

=3，
由GC=4

2

，CF=4，得FG=

GC2-CF2

=4，所以EF=5，
在△EFG中，有EF²=GE²+FG²，所以EG⊥GF，
又因為CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．
（2）解：在平面EGF中，過點G作GH⊥EF于H，則GH=

EG•GF

EF

=

12

5

，
因為平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，
VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH=

1

3

×4×5×

12

5

=16．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查邏輯推理能力，計算能力．