Question

 在直角坐標系中，點到兩點，的距離之和等于，設點的軌跡為。

   （1）求曲線的方程；

   （2）過點作兩條互相垂直的直線分別與曲線交于和。

①以線段為直徑的圓過能否過坐標原點，若能求出此時的值，若不能說明理由；

②求四邊形面積的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）設，由橢圓定義可知，點的軌跡是以為焦點，

長半軸為的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．

（2）①設直線,，其坐標滿足

消去并整理得，

故．

以線段為直徑的圓過能否過坐標原點，則，即．

而，

于是，

化簡得，所以．

②由①，

，

將上式中的換為得，

由于,故四邊形的面積為，（10分）

令，則

，

而，故，故，

當直線或的斜率有一個不存在時，另一個斜率為，

不難驗證此時四邊形的面積為，

故四邊形面積的取值范圍是．  （14分）