Question

（2012•浦東新區一模）設函數T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函數y=T（sin（

π

2

x））和y=sin（

π

2

T（x））的解析式；
（2）是否存在非負實數a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當x∈[0，

1

2n

]時，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立．
②對于給定的正整數m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個不同的實數根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數列{x_n}（1≤n≤2^m），求數列{x_n}所有2^m項的和．

Answer 1

分析：（1）由0≤sin

π

2

x＜

1

2

和

1

2

≤sin

π

2

x≤1，解出x的范圍，然后直接把sin

π

2

x代入分段函數解析式即可，
求y=sin（

π

2

T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分別寫出函數y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出當a=0時aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0時，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1時此等式成立；
（3）①當x∈[0，

1

2n

]時，x∈[0，

1

2

），則在函數T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=T_n（x）的解析式；
②根據題目給出的條件：當x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立，
求出當x∈[

i

2n

，

i+1

2n

]（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時的T_n（x）的解析式，再由方程T_m（x）=kx求得當x∈[

i

2m

，

i+1

2m

](i∈N，0≤i≤2m-1)時，x=

(2i+1)-(-1)i

2m+1-(-1)i2k

，那么，數列{x_n}所有2^m項的和可利用分組進行求和．

解答：解：（1）由0≤sin

π

2

x＜

1

2

，得：4k≤x＜4k+

1

3

或4k+

5

3

＜x≤4k+2（k∈Z），
由

1

2

≤sin

π

2

x≤1，得：4k+

1

3

≤x≤4k+

5

3

（k∈Z）．
所以，函數y=T[sin(

π

2

x)]=

2sin( π 2 x)  x∈[4k，4k+ 1 3 )∪(4k+ 5 3 ，4k+2]  k∈Z 2-2sin( π 2 x)  x∈[4k+ 1 3 ，4k+ 5 3 ]  k∈Z

，

函數y=sin(

π

2

T(x))=

sin π 2 (2x)      x∈[0， 1 2 ) sin π 2 (2-2x)  x∈[ 1 2 ，1]

，
所以，y=sin(

π

2

T(x))=sin(πx)  x∈[0，1]．
（2）y=aT(x)=

2ax         0≤x＜ 1 2 2a(1-x)   1 2 ≤x≤1

，
y=T(ax)=

2ax         0≤ax＜ 1 2 2(1-ax)   1 2 ≤ax≤1

．
當a=0時，則有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
當a＞0時，當且僅當a=1時有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
綜上可知當a=0或a=1時，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①當x∈[0，

1

2n

]時，對于任意的正整數i∈N^*，1≤i≤n-1，
都有0≤2ix≤

1

2

，
故有y=Tn(x)=Tn-1(2x)=Tn-2(22x)=…=Tn-i(2ix)=…=T(2n-1x)=2ⁿx．
②由①可知當x∈[0，

1

2n

]時，有Tn(x)=2nx，根據命題的結論可得，
當x∈[

1

2n

，

2

2n

]⊆[

0

2n

，

2

2n

]時，有

1

2n-1

-x∈[

0

2n

，

1

2n

]⊆[

0

2n

，

2

2n

]，
故有Tn(x)=Tn(

1

2n-1

-x)=2n(

1

2n-1

-x)=-2ⁿx+2．
因此同理歸納得到，當x∈[

i

2n

，

i+1

2n

]（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時，
Tn(x)=(-1)i(2nx-i-

1

2

)+

1

2

=

2nx-i          i是偶數 -2nx+i+1  i是奇數

．
對于給定的正整數m，當x∈[

i

2m

，

i+1

2m

](i∈N，0≤i≤2m-1)時，
解方程T_m（x）=kx得，x=

(2i+1)-(-1)i

2m+1-(-1)i2k

，
要使方程T_m（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2^m個不同的實數根，
對于任意i∈N，0≤i≤2^m-1，必須

i

2m

＜

(2i+1)-(-1)i

2m+1-(-1)i2k

＜

i+1

2m

恒成立，
解得k∈(0，

2m

2m-1

)，若將這些根從小到大排列組成數列{x_n}，
由此可得xn=

(2n-1)+(-1)n

2m+1+(-1)n2k

  （n∈N^*，1≤i≤2^m）．
故數列{x_n}所有2^m項的和為：
S=x1+x2+…+x2m-1+x2m
=

0+2+4+…+(2m-2)

2m-k

+

2+4+6+…+2m

2m+k

=

2m-1(4m-2k)

4m-k2

．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了函數恒成立問題，考查了數列的函數特性及數列的分組求和，特別是（3）中的②涉及到復雜條件下的函數解析式的求解及方程根的問題，需要學生有清晰的頭腦，考查了學生進行復雜運算的能力，此題是難度較大的題目．