Question

已知P、Q是拋物線C：y=x²上兩動點，直線l₁、l₂分別是拋物線C在點P、Q處的切線，且l₁⊥l₂，l₁∩l₂=M．
（1）求點M的縱坐標；
（2）直線PQ是否經過一定點？試證之；
（3）求△PQM的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，點M是兩切線的交點，故可以求出兩條切線的方程，解出兩切線交點的坐標即點M的坐標，再由兩切線垂直，其斜率的乘積為-1，求出點M的縱坐標；
（2）由點斜式寫出過兩點的直線的方程，易得其過定點（0，）；
（3）由題意，可由兩點間距離公式求出線段PQ的參數表達式，再由點到直線的距離公式求出點M到直線PQ的參數表達式，由面積公式建立面積關于參數的函數，求出函數的最值，即可得到面積的最值．
解答：解：（1）設P（x₁，x₁²），Q（x₂，x₂²），（x₁≠x₂），又y'=2x，則：）
又l₁⊥l₂，則4x₁•x₂=-1⇒x₁•x₂=-，∴y_M=-…．（4分）
（2）PQ：y-x₁²=
∴PQ恒過定點（0，）…（8分）
（3）令x₁+x₂=k，則M（），PQ：y=kx+
∴M到PQ的距離d=
又|PQ|=
=
∴S_△PQM=（此時k=0）…..（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查了切線的求法，恒過定點的問題，求面積的最值等，解題的關鍵是理解題意，由圓錐曲線中的相關計算根據題設中的等量關系建立方程或函數關系，本題考查了推理判斷的能力，符號計算的能力，是綜合性較強的題