Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第個圖形包含個小正方形．

(1)求出的值；
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與之間的關系式，并根據你得到的關系式求出的表達式；
(3)求的值.

Answer 1

解： (1)f(5)＝41.
(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
　……
由上式規律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因為f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n
⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1.
(3)當n≥2時，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)＝1＋ (1－)＝－.

解析