Question

過(guò)點(diǎn)M（3，0）作直線l與圓x²+y²=25交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求直線l的傾斜角為何值時(shí)△AOB的面積最大，并求這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出G的坐標(biāo)，利用Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．說(shuō)明P點(diǎn)的軌跡為以G為圓心

3

2

為半徑的圓，得到P的軌跡方程．
（2）令|OP|=h，由題意知0＜h≤3，求出△AOB的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值求解即可．

解答：解：（1）∵P是AB中點(diǎn)，∴OP⊥AB，取OM中點(diǎn)G，則在Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．
∴P點(diǎn)的軌跡為以G為圓心

3

2

為半徑的圓，令P（x，y）則(x-

3

2

)2+y2=

9

4

，
即x²-3x+y²=0．
經(jīng)檢驗(yàn)知：AB為x軸及AB∥y軸均滿足上式，∴P點(diǎn)的軌跡為x²-3x+y²=0…（6分）
（2）令|OP|=h，由題意知0＜h≤3，
在Rt△APO中，|AP|=

25-h2

即|AB|=2

25-h2

，S△ABO=

1

2

|AB|•|OP|=

1

2

×2

25-h2

•h=h

25-h2

(0＜h≤3)=

-h4+25h2

（0＜h≤3）．
令t=h²則 0＜t≤9，
易知S△ABO=

-t2+25t

，在 0＜t≤9時(shí)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=9，即直線AB垂直x軸時(shí)，S_△ABOmax=12，此時(shí)l的傾斜角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題，考查曲線軌跡方程的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，二次函數(shù)閉區(qū)間最值的求法，考查計(jì)算能力．