Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數f(x)=

2x-k

x2+1

的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數f（x）的值域；
（2）證明：函數f（x）在其定義域[a，b]上是增函數；
（3）在（1）的條件下，設函數g(x)=x3-3m2x+

3

5

 (-

1

2

≤x≤

1

2

， 0＜m＜

1

2

)，若對任意的x1∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x2∈[-

1

2

，

1

2

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數解析式，求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數f（x）的值域；
（2）確定函數在其定義域[a，b]上，導數為正，即可得到結論；
（3）由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分別確定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得實數m的取值范圍．

解答：（1）解：當k=0時，4x²-1=0，∴x=±

1

2

，∴f(x)=

2x

x2+1

，x∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴

f′(x)= 2(1-x2) (x2+1)2 ＞0

，
∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上單調遞增
∴函數f（x）的值域為[-

4

5

，

4

5

]；
（2）證明：求導函數可得f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根
∴拋物線y=-x2+kx+

1

4

開口向下，兩根之內的函數值必為正值
∵當x∈[a，b]，-x2+kx+

1

4

≥0，∴-x²+kx+1＞0，
∴f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

＞0．
∴函數f（x）在其定義域[a，b]上是增函數；
（3）解：由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是[-

4

5

，

4

5

]，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m

x	- 1 2	(- 1 2 ，-m)	-m	（-m，m）	m	(m， 1 2 )	1 2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	g(- 1 2 )	遞增	極大值g（-m）	遞減	極小值g（m）	遞增	g( 1 2 )

顯然

g( 1 2 )≤ 4 5 g(- 1 2 )≥- 4 5

，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需

g(-m)≤ 4 5 g(m)≥- 4 5

，解得：0＜m≤

3	1 10

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．