Question

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051114150524056693/SYS201305111415394748877012_ST.files/image002.png">，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有；當(dāng)時(shí)，，且.（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；

（2）若數(shù)列滿足：，且，證明：對(duì)任意的，

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增（2），再利用.

【解析】

試題分析：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下： 設(shè)任意，且，∵，∴，∴

即，∴在上單調(diào)遞增.  

（2）在中，令，得.令，

得，∴.令，得，即

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：   

①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則∵在上單調(diào)遞增，

∴，∴，即當(dāng)時(shí)不等式也成立.

綜上①②，由數(shù)學(xué)歸納法原理可知對(duì)任意的，

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；抽象函數(shù)及其應(yīng)用；數(shù)列與函數(shù)的綜合

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．