Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)1，3，7，，（）組成集合，從集合中任取（）個(gè)數(shù)，其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記.例如：當(dāng)時(shí)，，，；時(shí)，，，，.

（1）當(dāng)時(shí)，求，，，的值；

（2）證明：時(shí)集合的與時(shí)集合的（為以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式（，）；

（3）試求（用表示）.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，得出，根據(jù)定義得出、、的值，可計(jì)算出的值；

（2）當(dāng)時(shí)，集合有個(gè)元素，比時(shí)的集合多了一個(gè)元素；

，對(duì)應(yīng)的包含兩個(gè)部分：（i）若不含，則中的任何一項(xiàng)恰好為時(shí)集合的對(duì)應(yīng)的中的一項(xiàng)；（ii）若中含的任何一項(xiàng)，除了，其余的個(gè)數(shù)均來(lái)自集合，這個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合所對(duì)應(yīng)的中的一項(xiàng)，即可證明；

（3）由，，，猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，，，

（2）證明：當(dāng)時(shí)，集合有個(gè)元素，比時(shí)的集合多了一個(gè)元素：.∴對(duì)應(yīng)的包含兩個(gè)部分：

若中不含，則中的任何一項(xiàng)恰好為時(shí)集合的對(duì)應(yīng)的中的一項(xiàng).

若中含的任何一項(xiàng)，除了，其余的個(gè)數(shù)均來(lái)自集合，這個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合所對(duì)應(yīng)的中的一項(xiàng).

∴有關(guān)系式

（3）解：由，，，

猜想.下面證明：（i）易知時(shí)成立.

（ii）假設(shè)時(shí)，，

則時(shí)，

（其中，，2，…，k，為時(shí)可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為，

，即時(shí)，也成立，

綜合（i）（ii）知對(duì)，成立.

∴.