Question

(本小題滿分14分)設橢圓與拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于下表中:

 

1)求，的標準方程, 并分別求出它們的離心率；

2)設直線與橢圓交于不同的兩點，且（其中坐標原點），請問是否存在這樣的直線過拋物線的焦點若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），，，。（2）。

【解析】

試題分析：（1）∵焦點在x軸上，且橢圓與拋物線的中心與頂點在原點，又過點，

故點在橢圓上，點在拋物線上

，

∴點在上，

設

把點代入得，

由拋物線知

（2）由得

若l與x軸垂直，則l:x=1

由

設不滿足

若存在直線l不與x軸垂直，可設為

設

由

    

      

所求的直線為

考點：橢圓與拋物線的標準方程及簡單性質；直線與橢圓的綜合應用。

點評：（1）做第一問的關鍵是確定哪兩個點在橢圓上，哪兩個點在拋物線上。（2）在求直線與圓錐曲線相交的有關問題時，通常采用設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點→聯立方程→消元→韋達定理。