Question

設定義域為R的函數f（x）滿足下列條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．則下列不等式不一定成立的是（　　）

• A、f（a）＞f（0）
• B、f(

  1+a

  2

  )＞f(

  a

  )
• C、f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-3)
• D、f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-a)

Answer 1

分析：根據題中的2個條件可以判斷函數f（x）是奇函數，且在[1，a]上是個增函數，所以，要比較2個函數值的大小，
要看自變量的范圍，再利用函數的單調性得出結論．

解答：解：∵①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，∴函數f（x）是奇函數，
∵②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴函數f（x）在區間[1，a]上是單調增函數．
∵a＞1，故選項A、f（a）＞f（0）一定成立．
∵

1+a

2

＞

a

，故選項B、f（

1+a

2

）＞f（a）一定成立．
∵

1-3a

1+a

-（-a）=

(a-1)2

1+a

＞0，∴

1-3a

1+a

＞-a，∴a＞

3a-1

1+a

=3-

4

a+1

≥1，
∴f（a）＞f（

3a-1

1+a

），兩邊同時乘以-1可得-f（a）＜-f（

3a-1

1+a

），即f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），
故選項D一定成立．

1-3a

1+a

-（-3）=

4

1+a

＞0，∴

1-3a

1+a

＞-3，∴3＞

3a-1

1+a

＞0，但不能確定3和

3a-1

1+a

 是否在區間[1，a]上，
故f（3）和f（

3a-1

1+a

）的大小關系不確定，故f（

1-3a

1+a

） 與f（-3）的大小關系不確定，故C不一定正確．
故答案選  C．

點評：本題考查抽象函數及其應用，從條件判斷函數的奇偶性和單調性，依據單調性分析各選項是否一定成立，屬于中檔題．