Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 對任意n∈N* ， 點（an ， Sn）都在函數 的圖象上．
（1）求數列{an}的首項a1和通項公式an；
（2）若數列{bn}滿足 ，求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）已知數列{cn}滿足 ．若對任意n∈N* ， 存在 ，使得c1+c2+…+cn≤f（x）﹣a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題知，當n=1時，a1=S1= a12+ a1，所以a1=1（0舍去）．

Sn= an2+ an，所以Sn+1= an+12+ an+1，兩式相減得到

（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，

因為正項數列{an}，所以an+1﹣an=1，

數列{an}是以1為首項，1為公差的等差數列，所以an=n．

（2）解：由（1）知an=n，{bn}滿足 =n+log2（2n﹣1），

所以bn=（2n﹣1）2n，

因此前n項和Tn=121+322+523+…+（2n﹣1）2n，①

2Tn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，②

由①﹣②得到﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1=﹣6+（3﹣2n）2n+1，

所以Tn=6+（2n﹣3）2n+1．

（3）解：由（2）知Tn=6+（2n﹣3）2n+1，

= ﹣ = ﹣（ ﹣ ）．

令Mn為數列{cn}的前n項和，

易得Mn= ﹣（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ﹣ ．

因為c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，當n≥5時，cn= [ ﹣1]，

而 ﹣ = ＞0，得到

≤ ＜1，所以當n≥5時，cn＜0，所以Mn≤M4= ﹣ = ﹣ ．

又x∈[﹣ ， ]，f（x）﹣a= x2+ x﹣a遞增，可得其最大值為 ﹣a．

因為對任意的n∈N*，存在x0∈[﹣ ， ]，使得Mn≤f（x）﹣a成立．

所以 ﹣ ≤ ﹣a，

解得a≤ ．

【解析】（1）運用數列的遞推式，令n=1，求出首項；再將n換為n+1，兩式相減，化簡即可得到所求通項公式；（2）運用對數的運算性質可得bn=（2n﹣1）2n ， 再由數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，計算即可得到所求和；（3）求得 = ﹣ = ﹣（ ﹣ ）．運用分組求和和裂項相消求和，可得Mn= ﹣ ．討論{Mn}的單調性，可得最大值M4 ， 求得f（x）﹣a的最大值，由題意可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．