Question

（05年浙江卷理）（14分）

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求橢圓的方程；

   (Ⅱ)若直線l₁：x＝m(|m|＞1)，P為l₁上的動點，使∠F₁PF₂最大的點P記為Q，求點Q的坐標(biāo)(用m表示)．

Answer 1

解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為(a>0,b>0),半焦距為c,則|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c
由題意,得∴a=2,b=,c=1.

故橢圓的方程為

(Ⅱ)設(shè)P(m,y_q),|m|>1,

當(dāng)y_q=0時,∠F₁PF₂=0,當(dāng)y_q≠0時,0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

設(shè)直線PF₁的斜率k₁=,直線PF₂的斜率k₂=,

∴tan∠F₁PF₂=

當(dāng)且僅當(dāng)時,∠F₁PF₂最大,∴Q(m,),|m|>1