Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)和第2項(xiàng)，且a₄=8，公比q≠1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)某等差數(shù)列{c_n}的公差為d，等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意可求得q=

1

2

，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=(

1

2

)n-7，于是可求得b_n=log227-n=7-n，繼而可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：設(shè)某等差數(shù)列{c_n}的公差為d，等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列{c_n}的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)和第2項(xiàng)，且a₄=8，
∴a₂=c₅，a₃=c₃，a₄=c₂=8，
∴c₅=c₃+2d=c₂+3d，即a₂=a₃+2d=a₄+3d，消去d得：

a2-a3

2

=

a2-a4

3

，
∴a₂=3a₃-2a₄=3a₃-16，
即

8

q2

=3•

4

q

-16，解得q=

1

2

或q=1，又q≠1，
∴q=

1

2

，
∴a_n=64×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-7．
（Ⅱ）b_n=log2[64×(

1

2

)n-1]=log227-n=7-n，
∴T_n=

N(6+7-n)

2

=-

1

2

n²+

13n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．