Question

下列說法：
①x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要條件．
②函數y=

x-1

x+1

圖象的對稱中心是（1，1）．
③已知x，y∈R，i為虛數單位，且（x-2）i-y=1+i，則（1+i）^x-y的值為-4．
④若函數f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

，對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，則實數a的取值范圍是(

1

7

，1)．
其中正確命題的序號為

①③

．

Answer 1

分析：x＞2⇒x²-3x+2＞0，x²-3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要條件；由函數y=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，知函數y=

x-1

x+1

圖象的對稱中心是（-1，1）；由（x-2）i-y=1+i，知

-y=1 x-2=1

，故（1+i）^x-y=（1+i）⁴=（2i）²=-4；由對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，知函數f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是減函數，由此能求出0＜a＜

1

3

．

解答：解：x＞2⇒x²-3x+2＞0，
x²-3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，
∴x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要條件，故①是真命題；
∵函數y=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，
∴函數y=

x-1

x+1

圖象的對稱中心是（-1，1），故②是假命題；
∵（x-2）i-y=1+i，
∴

-y=1 x-2=1

，即x=3，y=-1，
∴（1+i）^x-y=（1+i）⁴=（2i）²=-4，即③是真命題；
∵對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴函數f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是減函數，
∴

3a-1＜0 0＜a＜1

，即0＜a＜

1

3

，故④是假命題．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要注意不等式、函數的對稱性、復數性質、對數函數等知識點的靈活運用．