Question

已知中心在原點、焦點在x軸的橢圓的離心率為，且過點（，）.
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)若A,B是橢圓E的左、右頂點，直線：（）與橢圓E交于、兩點，證明直線與直線的交點在垂直于軸的定直線上，并求出該直線方程．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)直線與直線的交點在定直線上

(Ⅰ)依題意，設橢圓的方程為，
由已知=．                      ①        
∵點(，)在橢圓E上，∴+=1．               ②        
由①、②及解得，，．
∴橢圓的方程為．                         ……6分
(Ⅱ)將直線：，代入橢圓方程并整理，得
，                                   
設直線與橢圓的交點，，
由根與系數的關系，得，． ……9分         
消去得，．                              
直線的方程為：，即．
直線的方程為：，即．    ……12分
由直線與直線的方程消去得，
．
∴直線與直線的交點在定直線上．                 ……14分