Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，E是側棱AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：BC₁⊥EC；
（Ⅱ）求二面角A-EC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：
（Ⅰ）設O是AC的中點，連接OB、OC₁．在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．△AEC≌△COC₁，由此能夠證明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，作OF⊥EC，垂足為F，連接BF，則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角．由此能求出二面角A-EC-B的大小．
法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以AC的中點O為原點，建立空間直角坐標系，設AB=2，利用向量法能夠證明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）求出平面AEC的一個法向量為．求出平面ECD的法向量．利用向量法能墳出二面角A-EC-B的大小．
解答：解法一：
（Ⅰ）證明：設O是AC的中點，連接OB、OC₁．
在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，
∴OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．
∴△AEC≌△COC₁，∠AEC=∠COC₁．
又∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠COC₁+∠ACE=90°，OC₁⊥EC，
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，
作OF⊥EC，垂足為F，連接BF，
則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角．
不妨設AB=2，則，，
在Rt△BOF中，，
∴．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）證明：在正三棱柱中，以AC的中點O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz如圖．
設AB=2，則
，，，，
∴，，
∵．
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：在空間直角坐標系O-xyz中，
平面AEC的一個法向量為．
設平面ECD的法向量為，
易知，．
由，得，
取x=1，得．
，
∴二面角A-EC-B的大小為．…（12分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．