Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長和側棱長均為1，且滿足∠BAD=60°，O₁為A₁C₁的中點．
（1）求證：BD⊥A₁C；
（2）求證：AO₁∥平面C₁BD；
（3）設BB₁的中點為M，過A，C₁和M作一截面，求所得截面面積．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由菱形的性質可得BD⊥AC，由直四棱柱的幾何特征可得A₁A⊥BD，結合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面A₁AC，進而再由線面垂直的性質得到BD⊥A₁C；
（2）設AC∩BD=O，連接C₁O，由三角形中位線定理得C₁O∥AO₁．再由線面平行的判定定理得到AO₁∥平面C₁BD；
（3）取DD₁中點N，連接AM，MC₁，C₁N，AN．可證得平行四邊形AMC₁N為菱形，根據菱形面積等于對角線長乘積的一半，即可得到截面面積．

解答：解：（1）證明：連接AC，
由直棱柱的性質可知A₁A⊥平面ABCD，則A₁A⊥BD．
由已知底面ABCD為菱形，則BD⊥AC，
由A₁A∩AC=A，
所以BD⊥平面A₁AC．
所以BD⊥A₁C．
（2）設AC∩BD=O，連接C₁O，
由正方體的幾何特征可得
C₁O₁=AO，且C₁O₁∥AO，
故四邊形AOC₁O₁為平行四邊形
則C₁O∥AO₁．
∵AO₁?平面C₁BD，C₁O?平面C₁BD
∴AO₁∥平面C₁BD；
（3）取DD₁中點N，連接AM，MC₁，C₁N，AN．
MC₁∥AN，且AM=MC₁=C₁N=AN
∴A，M，C₁，N四點共面，且平行四邊形AMC₁N為菱形．
由已知AC1=2，MN=1，S平行四邊形AMC1N=1．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定和性質，菱形的面積，其中（1）（2）的關鍵是熟練掌握空間直線與平面平等及垂直的判定、性質、定義、幾何特征，（3）的關鍵是證明出截面為菱形，進而根據菱形面積等于對角線長乘積的一半求解．