Question

（本小題滿分14分）已知函數.
(l)求的單調區間和極值；
(2)若對任意恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

(1)單增區間，單減區間，極小值；(2).

解析試題分析：(1)先對函數求導得到，然后分別求出以及時的的取值集合，這兩個取值集合分別對應函數的單調增區間和單調減區間，根據函數的單調性可知函數在處取得極小值，求出即可；(2)根據，先將式子化簡得，，構造函數，利用函數的單調性以及導數的關系，先求出函數的零點，再討論函數在零點所分區間上的單調性，據此判斷函數在點取得最小值，這個最小值即是的最大值.
試題解析：（1) ∵，
∴，
當時，有 ，∴函數在上遞增，         3分
當時，有 ，∴函數在上遞減，         5分
∴在處取得極小值，極小值為.        6分
(2)
即 ，
又，  ，             8分
令 ， 
，        10分
令，解得或 （舍），
當時，，函數在上遞減，
當時，，函數在上遞增，            12分
，                                                 13分
即的最大值為.                                          14分
考點：1.函數求導；2.函數的單調性與導數的關系；3.不等式恒成立問題；4.利用導數研究函數的極值；5.解不等式