Question

如圖2-5-9，已知PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C，PD⊥AB于D，PD、AO的延長線相交于E，連結CE并延長交⊙O于F，連結AF.

圖2-5-9

（1）求證：△PBD∽△PEC;

（2）若AB=12，tan∠EAF=,求⊙O的半徑.

Answer 1

思路分析：在（1）中，要證相似的兩個三角形已經有一個角相等，只要再證其夾邊對應成比例即可，而這可由△PAD∽△PEA得到；在（2）中，已知tan∠EAF=，所以需構造直角三角形，從而運用三角函數求解.

(1)證明：由切割線定理，得PA²=PB·PC.

由△PAD∽△PEA,得PA²=PD·PE，∴PB·PC=PD·PE.

又∠BPD公共,∴△PBD∽△PEC.

(2)解：作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC可得∠CEP=∠F，

∴PE∥AF.

又OG⊥AB于G，∴AG=AB=6.

∴OG∥ED∥FA.

∴∠AOG=∠EAF.

Rt△AOG中，tan∠AOG=，又=，∴OG=9.

由勾股定理，AG²+OG²=AO²，∴AO=.

∴⊙O半徑長為.

    方法歸納 已知或圖形中出現切線、割線等相關的條件時，通常需要借助于切割線定理，以建立線段之間的關系.