Question

如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面積為2，雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的標準方程．

Answer 1

－＝1

△PF₁F₂是焦點三角形，利用余弦定理來探索|PF₁|，|PF₂|，a，b，c之間的關(guān)系，以便確定雙曲線的基本量的大小．
設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則F₁(－c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得
|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos＝(|PF₁|－|PF₂|)²＋|PF₁|·|PF₂|，∴4c²＝4a²＋|PF₁|·|PF₂|．
又S_△PF1F2＝2，∴|PF₁|·|PF₂|·sin＝2．
∴|PF₁|·|PF₂|＝8，∴4c²＝4a²＋8，∴c²＝a²＋2，∴b²＝c²－a²＝2，又e＝＝2，∴c＝2a，∴4a²＝a²＋2，∴a²＝．
∴雙曲線的標準方程為－＝1．