Question

已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得．然后令，求出導函數，討論導函數的增減性，得到b的取值范圍；
（3）求出f′（x）=0時x的值，討論函數的增減性得到函數的最大值為f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=＞0，代入得到結論成立．
解答：解（1），∵x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故，解得a=1．經檢驗a=1符合題意．
（2）由a=1知，得．
令，
則在[0，2]上恰有兩個不同的實數根，
等價于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個不同實數根．，
當x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調遞增；
當x∈（1，2）時，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調遞減；
依題意有，∴
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞-1}．
由（1）知時，（舍去），
∴當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（當且僅當x=0時，等號成立）．
對任意正整數n，取得，．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，注意函數與方程的綜合運用，以及會進行不等式的證明．