Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：
 
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF²＝AD·BC.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF²＝AF·BF，
所以EF²＝AD·BC.