Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（x，y），PM⊥y軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，且

OP

•

MN

=4，
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線y=x-

6

與上述曲線交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程，化簡(jiǎn)．
（2）直線y=x-

6

代入

x2

4

-

y2

2

=1可得x²-4

6

x+16=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合先唱公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由已知M（0，y），N（x，-y） 
則

OP

•

MN

=（x，y）•（x，-2y）=x²-2y²=4，即

x2

4

-

y2

2

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線y=x-

6

代入

x2

4

-

y2

2

=1可得x²-4

6

x+16=0，
∴x₁+x₂=4

6

，x₁x₂=16，
∴|AB|=

1+1

•

(4 6 )2-4×16

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，正確求出軌跡方程是關(guān)鍵．