Question

（2012•鄭州二模）如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=

2

AB，B₁C₁

∥

.

1

2

BC，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（I）求證：A₁B₁⊥平面AA₁C； 
（II）求證：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（II）求BC與平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，又因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，從而得到AB⊥平面AA₁C，再證AB∥A₁B₁，可得A₁B₁⊥平面AA₁C；
（Ⅱ）取BC中點D，連接AD，B₁D，C₁D．證明四邊形B₁C₁DB是平行四邊形，可得C₁D∥B₁B，進而可證AD∥平面A₁C₁C；同理，B₁D∥平面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得平面ADB ₁∥平面A₁C₁C，從而可得AB₁∥平面A₁C₁C；         
（Ⅲ）建立如圖坐標系，設AB=2，確定平面A₁C₁C的一個法向量

m

=(1，-1，1)，又

CB

=(-2，2，0)，根據向量的夾角公式，可得BC與平面A₁C₁C所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因為AB=AC，BC=

2

AB，所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC，
又因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，
又因為AC、AA₁?平面AA₁C，AC∩AA₁=A
所以AB⊥平面AA₁C；
又因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C；       …（4分）

（Ⅱ）證明：取BC中點D，連接AD，B₁D，C₁D．
∵B₁C₁∥BC且B₁C₁=

1

2

BC，D為BC中點
∴B₁C₁∥DB且B₁C₁=DB，
∴四邊形B₁C₁DB是平行四邊形，可得C₁D∥B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，A₁A∥C₁D且A₁A=C₁D，
所以，A₁ADC₁是平行四邊形
所以，A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C；
同理，B₁D∥平面A₁C₁C；
又因為B₁D∩AD=D，所以平面ADB ₁∥平面A₁C₁C；
所以AB₁∥平面A₁C₁C；         …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）AB⊥平面AA₁C，又二面角A₁-AB-C是直二面角，可知，AA₁，AC，AB兩兩互相垂直，建立如圖2示坐標系，設AB=2，則A（0，0，0），B（0，2，0），A₁（0，0，2），C（2，0，0），C₁（1，1，2）
所以

A1C1

=(1，1，0)，

A1C

=(2，0，-2)．
設平面A₁C₁C的一個法向量為

m

=(x，y，1)
由

m • A1C1 =0 m • A1C =0

得

x+y=0 2x-2=0

，∴

x=1 y=-1

，∴

m

=(1，-1，1)
又

CB

=(-2，2，0)，所以cos＜

m

，

CB

＞=

m • CB

| m || CB |

=

-2-2

3 ×2 2

=-

6

3

 故BC與平面A₁C₁C所成角的正弦值為

6

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決空間角問題，掌握線面平行、線面垂直的判定方法，正確運用空間向量解決線面角問題是關鍵．