Question

某工廠有214名工人，現要生產1500件產品，每件產品由3個A型零件與1個B型零件配套組成，每個工人加工5個A型零件與3個B型零件所需時間相同．現將全部工人分為兩組，分別加工一種零件，同時開始加工．設加工A型零件的工人有x人，在單位時間內每人加工A型零件5k個 （k∈N*），加工完A型零件所需時間為g（x），加工完B型零件所需時間為h （x）．
（Ⅰ）試比較g（x）與h（x）大小，并寫出完成總任務的時間f（x）的表達式；
（Ⅱ）怎樣分組才能使完成任務所需時間最少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，A型零件共需要4500個，B型零件共需要1500個，加工B型零件的工人有214-x人，單位時間內每人加工B型零件3k個，可求的g(x)=

4500

5kx

=

900

kx

，h(x)=

1500

3k(214-x)

=

500

k(214-x)

，比較g（x）與h（x）的大小，即可得到分段函數；
（Ⅱ）分組才能使完成任務所需時間最少，即求當x為何值時，f（x）最小，根據當1≤x≤137（x∈N^*）時，g(x)=

900

kx

為減函數；當137≤x≤213（x∈N^*）時，h(x)=

500

k(214-x)

為增函數，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，A型零件共需要4500個，B型零件共需要1500個，加工B型零件的工人有214-x人，單位時間內每人加工B型零件3k個，所以g(x)=

4500

5kx

=

900

kx

，h(x)=

1500

3k(214-x)

=

500

k(214-x)

∴g（x）-h（x）=

100

k

×

2(963-7x)

x(214-x)

∵0＜x＜214，且x∈N^*，∴當1≤x≤137（x∈N^*）時，g（x）＞h（x）；當137≤x≤213（x∈N^*）時，g（x）＜h（x）；
∴f（x）=

900 kx ，1≤x≤137 500 k(214-x) ，137≤x≤213

（其中x∈N^*）
（Ⅱ）分組才能使完成任務所需時間最少，即求當x為何值時，f（x）最小
∵當1≤x≤137（x∈N^*）時，g(x)=

900

kx

為減函數；當137≤x≤213（x∈N^*）時，h(x)=

500

k(214-x)

為增函數

f(137)

f(138)

=

900

137k

×

76k

500

＜1
∴x=137時，f（x）最小
即加工A型零件137人，加工B型零77人，完成任務所需時間最少

點評：本題主要考查了根據實際問題選擇函數類型的問題．解題的關鍵是根據題意求得函數的解析式．