Question

（本小題滿分14分）
已知：有窮數列{a_n}共有2k項（整數k≥2 ）,a₁="2" ,設該數列的前n項和為 S_n且滿足S_n+1=aS_n+2（n=1,2,…,2k-1）,a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式;
（2）設b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n項和T_n;
（3）設c_n=，若a=2，求滿足不等式 + +…++≥時k的最小值．

Answer 1

（1）a_n=2·a^n-1（n=1,2…，2k）；（2）T_n=n+（a＞1,n=1,2，…，2k）（3）k≥6或k≤

（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1,2，…，2k-1）       （1）
S_n=aS_n-1+2（n=2,3,…，k） （2）……………………………2分
（1）-（2）得a_n+1=a·a_n（n=2,3，…，2k-1）
由（1）式S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2……………………………………………………3分
解得a₂=2a，因為
所以{a_n}是以2為首項，a為公比的等比數列，a_n=2·a^n-1（n=1,2…，2k）…………4分
（2）∵b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂=log₂a    （n=2,3…，2k）
∴{b_n}是以b₁=1為首項，以log₂a（a＞1）為公差的等差數列………………………6分
∴T_n===n+（a＞1,n=1,2，…，2k）……………8分
（3）c_n==1+=1+（n=1，2，…，2k）……………………………10分
當c_n≤時， n≤k+，n為正整數,知n≤k時，c_n<
當n≥k+1時，c_n＞……………………………………………………………………11分

=（-c₁）+（-c₂）+…+（-c_k）+（c_k+1-）+…+（c_2k-）
=（c_k+1+c_k+2+…+c_2k）-（c₁+c₂+…+c_k）
={［k+（k+1）+…+（2k-1）］+2k}-{［1+2+…+（k-1）］+k}
=［-］
=≥
即11k²-72k+36≥0,（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤
所以滿足條件的k的最小值為6…………………………14分