Question

設函數f（x）=x|x-a|+b，求證：f（x）為奇函數的充要條件是a²+b²=0．

Answer 1

分析：根據充要條件的定義分別證明充分性和必要性成立即可．

解答：證明：充分性：∵a²+b²=0，
∴a=b=0，
∴f（x）=x|x|，
∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|，-f（x）=-x|x|，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
必要性：若f（x）為奇函數，
則對一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立，
令x=0，則b=-b，
∴b=0，
令x=a，則2a|a|=0，
∴a=0，
即a²+b²=0成立．
綜上：f（x）為奇函數的充要條件是a²+b²=0．

點評：本題主要考查充要條件的證明，要根據充要條件的定義分別證明充分性和必要性成立．比較基礎．