Question

（1）已知橢圓的離心率為

2

2

，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用橢圓的離心率為

2

2

，準線方程為x=±8，建立方程組，可求幾何量，即可得到橢圓的標準方程；
（2）建立平面直角坐標系，確定父親在離開家前能得到報紙的事件構成區域，以面積為測度，可得結論．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為

2

2

，準線方程為x=±8
∴

c a = 2 2 a2 c =8

∴a=4

2

，c=4，∴b²=a²-c²=16
∴橢圓的標準方程為

x2

32

+

y2

16

=1；
（2）以橫坐標表示報紙送到時間，以縱坐標表示父親離家時間，建立平面直角坐標系，父親在離開家前能得到報紙的事件構成區域是下圖：
 由于隨機試驗落在方形區域內任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件．
根據題意，只要點落到陰影部分，就表示父親在離開家前能得到報紙，即事件A發生，
所以P（A）=

1- 1 2 × 1 2 × 1 2

1

=

7

8

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查幾何概型，考查學生的計算能力，屬于中檔題．