Question

（本小題滿分12分）設數列的各項都是正數，且對任意

其中為數列的前項和. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求數列的通項公式；（Ⅲ）設為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

Answer 1

(Ⅰ) ，   (Ⅱ)  （Ⅲ）略

解析:

解（I）由已知，當時，，又……1分

當①

  ②……2分

由①－②得，

…………3分

適合上式. ………4分

   （Ⅱ）由（I）知，  ③當，  ④……5分

由③－④得， …………6分

又數列是等差數列，首項為1，公差為1.∴.

（Ⅲ）∵，∴.要使恒成立，

 

恒成立，即恒成立. ……9分

（i）當n為奇數時，即恒成立，又的最小值為，∴.

（ii）當n為偶數時，即恒成立，又－的最大值為，

∴.即，又 ，為整數，

∴，使得對任意，，都有.        ……………12分