Question

已知等差數列{a_n}滿足a₂+a₃=10，前6項的和為42．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和S_n，且

1

bn

=a1+a2+…+an，若S_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差數列{a_n}滿足a₂+a₃=10，前6項的和為42，我們構造關于基本量（首項和公差）的方程，解方程即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）根據（1）的結論，我們利用等差數列前n項和公式，易求了數列{b_n}的通項公式，進而得到S_n的表達式，由S_n＜m恒成立，我們易根據函數恒成立問題的求法，求出m的最小值．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
則2a₁+3d=10，
6a1+

6×5

2

d=42（2分）
解得

a1=2 d=2

（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n（6分）
（2）因為

1

bn

=a1+a2++an=（7分）
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

（11分）
因為S_n＜m恒成立，∴m＞（S_n）_max∴m≥1
所以m的最小值為1（14分）

點評：本題考查的知識點是等差數列的通項公式，及數列的求和，其中根據已知條件構造關于基本量（首項和公差）的方程，進而得到數列{a_n}的通項公式，是解答本題的關鍵．