Question

已知函數f（x）=lnx+x²
（1）若函數g（x）=f（x）-ax在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍．
（2）在（1）條件下若a＞1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的最小值；
（3）設F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n）且2x₀=m+n，證明：函數F（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線不可能平行于x軸．

Answer 1

分析：（1）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據二次函數的圖象與性質可求出實數a的取值范圍；
（2）求出函數的導數，再得出導數的正負與單調性的規律，得出函數在區間[1，2]上的最小值為h（

a

）；
（3）對于能否問題，可先假設能，即設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx結合題意，列出方程組，證得函數y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上單調遞增，最后出現矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-ax
∴g'（x）=

1

x

+2x-a  定義域：（0，+∞）
∴1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立
對稱軸：x=

a

4

a≤0時只要最小值g'（0）=1＞0即可
a＞0時，g'（

a

4

）=

a2

8

-

a2

4

+1≥0則

a2

8

≤1
0＜a≤2

2

綜上a≤2

2

．
（2）由（1）以及條件得：1＜a≤2

2

，
∵h（x）=x³-3ax，，
∴h'（x）=3（x²-a）=3（x+

a

）（x-

a

），且1＜

a

＜2．
所以當1＜x＜

a

時，h'（x）＜0，即h（x）在（1，

a

）上遞增；
當

a

＜x＜2時．h'（x）＞0，即h（x）在（

a

，2）上遞減．
故h（x）在[1，2]上的最小值為h（

a

）=(

a

)3-3a

a

=-2

a

．
（3）設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結合題意，有

2lnm-m2-km=0① 2lnn-n2-kn=0② m+n=2x0③ 2 x0 -2x0-k=0④

①-②得2ln

m

n

-(m+n)(m-n)=k(m-n)
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x0
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
設u=

m

n

∈(0，1)，⑤式變為lnu-

2(u-1)

u+1

=0(u∈(0，1))
設y=lnu-

2(u-1)

u+1

(u∈(0，1))，y′=

1

u

-

2(u+1)-2(u-1)

(u+1)2

=

(u+1)2-4u

u(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函數y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上單調遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2(u-1)

u+1

＜0，也就是，ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以F（x）在（x₀，F（x₀））的切線不能平行于x軸

點評：利用導數工具討論函數的單調性，是求函數的值域和最值的常用方法，本題還考查了分類討論思想在函數題中的應用，同學們在做題的同時，可以根據單調性，結合函數的草圖來加深對題意的理解．