Question

在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10項和S₁₀=55．
（1）求a_n和b_n；
（2）現(xiàn)分別從{a_n}和{b_n}的前3項中各隨機抽取一項，求這兩項的值相等的概率；
（3）設(shè){a_nb_n}的前n和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件求出公差和公比，即可求出通項；
（2）先根據(jù)第一問的結(jié)果把基本事件都寫出來，再找到滿足要求的即可求出結(jié)論．
（3）利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
由題得：S₁₀=10+

10×9

2

d=55；b₄=q³=8；
解得：d=1，q=2．
∴a_n=n，b_n=2^n-1．
（2）分別從從{a_n}和{b_n}的前3項中各隨機抽取一項，得到的基本事件有9個：
（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．
兩項的值相等的有（1，1），（2，2）．
∴這兩項的值相等的概率：

2

9

．
（3）a_nb_n=n•2^n-1，
則T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ②，
①-②，得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n═（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和及古典概型等基礎(chǔ)知識，考察運算求解能力、方程思想．是對基礎(chǔ)知識的綜合考察，屬于中檔題目．利用錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．