Question

如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面 平面，且，分別為和的中點．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構造面外線平行于面內線，其手段一般是構造平行四邊形，或構造三角形中位線(特別是有中點時)，本題易證從而達到目標；（Ⅱ）要證面面垂直，由面面垂直的判定定理知可先考察線面垂直，要證線面垂直，又要先考察線線垂直；（Ⅲ）求棱錐的體積，關鍵是作出其高，由面面及為等腰直角三角形，易知（中點為），就是其高，問題得以解決.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，連結．
∵四邊形為矩形且是的中點．∴也是的中點．
又是的中點，                       2分
∵平面，平面，所以平面；      4分
（Ⅱ）證明：∵平面 平面，，平面 平面，
所以平面 平面，又平面，所以       6分
又，是相交直線，所以面 
又平面，平面平面；            8分
（Ⅲ）取中點為．連結,為等腰直角三角形，所以，
因為面面且面面，
所以，面，
即為四棱錐的高．      10分 
由得．又．
∴四棱錐的體積    12分