Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內有一點P（2，1），過點P作直線交橢圓于A、B兩點．
（1）若弦AB恰好被點P平分，求直線AB的方程；
（2）當原點O到直線AB的距離取最大值時，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）利用“點差法”求得直線的斜率即可得到直線的方程；
（2）當原點O到直線AB的距離取最大值時，滿足OP⊥AB，求出此時直線AB的方程，再利用點到直線的距離公式及弦長公式即可．

解答：解：（1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的斜率為k，
由A、B在橢圓上，得

x 2 1 9 + y 2 1 4 =1     ① x 2 2 9 + y 2 2 4 =1    ②

又∵P（2，1）是AB的中點，∴

x1+x2=4 y1+y2=2

．
由①-②得 

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

8

9

．
∴直線AB的方程為y-1=-

8

9

（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．當原點O到直線AB的距離取最大值時 滿足：OP⊥AB．
∵k_OP=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
聯立方程組 

2x+y-5=0 x2 9 + y2 4 =1

得 40x²-180x+189=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 

x1+x2= 9 2 x1x2= 189 40

，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

3

．
∴S_△AOB=

1

2

|OP||AB|=

3

4

15

．

點評：會應用“點差法”解決有關中點弦的問題；知道：當原點O到直線AB的距離取最大值時滿足OP⊥AB，及熟練掌握點到直線的距離公式、弦長公式是解題的關鍵．