Question

如圖，在三棱柱中，平面，，為棱上的動點，.
⑴當為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；
⑵當的值為多少時，二面角的大小是45.

Answer 1

（1），（2）.

試題分析：（1）此小題考查用空間向量解決線面角問題，只需找到面的法向量與線的方向向量，注意用好如下公式：，且線面角的范圍為：；（2）此小題考查的是用空間向量解決面面角問題，只需找到兩個面的法向量，但由于點坐標未知，可先設出，利用二面角的大小是45，求出點坐標，從而可得到的長度，則易求出其比值.
試題解析：

如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，依題意得，⑴因為為中點，則，
設是平面的一個法向量，則，得，取，則，設直線與平面的法向量的夾角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；
⑵設，設是平面的一個法向量，則，取，則，是平面的一個法向量，，得，即，所以當時，二面角的大小是.