Question

（2011•黑龍江一模）已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數），定點A(0，-

3

)，F₁，F₂是圓錐曲線C的左，右焦點．
（1）以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經過點F₁且平行于直線AF₂的直線l的極坐標方程；
（2）在（I）的條件下，設直線l與圓錐曲線C交于E，F兩點，求弦EF的長．

Answer 1

分析：（1）將曲線的參數方程化為普通方程，由橢圓的標準方程確定相關點的坐標，再由點斜式寫出直線l的直角坐標方程，最后轉化為極坐標方程即可
（2）將直線方程與橢圓標準方程聯立，利用韋達定理和弦長公式計算相交弦EF的長即可

解答：解：（1）圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數），
所以普通方程為C：

x2

4

+

y2

3

=1∴A(0，-

3

)，F2(1，0)，F1(-1，0)
∴kAF2=

3

，l：y=

3

(x+1)
∴直線l極坐標方程為：ρsinθ=

3

ρcosθ+

3

即2ρsin(θ-

π

3

)=

3

（2）將直線

y= 3 (x+1)

代入橢圓標準方程

x2 4 + y2 3 =1

，得5x²+8x=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=0
∴|EF|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+3

64 25

=

16

5

點評：本題考查了橢圓的參數方程，標準方程及其互化，直線的直角坐標方程及與其極坐標方程的互化，直線與橢圓的位置關系，求相交弦長的方法．