Question

如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點．在此幾何體中，給出下面四個結論：
①直線BE與直線CF異面；
②直線BE與直線AF異面；
③直線EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD．
其中正確的命題的個數是    個．

Answer 1

【答案】分析：①根據三角形的中位線定理可得四邊形EFBC是平面四邊形，直線BE與直線CF共面；
②由異面直線的定義即可得出；
③由線面平行的判定定理即可得出；
④可舉出反例．
解答：解：由展開圖恢復原幾何體如圖所示：
①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根據三角形的中位線定理可得EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，
因此四邊形EFBC是平面四邊形，故直線BE與直線CF不是異面直線，所以①不正確；
②由點A不在平面EFCB內，直線BE不經過點F，根據異面直線的定義可知：直線BE與直線AF異面，所以②正確；
③由①可知：EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直線EF∥平面PBC，故③正確；
④如圖：假設平面BCEF⊥平面PAD．
過點P作PO⊥EF分別交EF、AD于點O、N，在BC上取一點M，連接PM、OM、MN，
∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．
若PM≠MN時，必然平面BCEF與平面PAD不垂直．
故④不一定成立．
綜上可知：只有②③正確，即正確的命題的個數是2．
故答案為2．
點評：正確理解線面、面面平行與垂直的判定與性質定理和異面直線的定義是解題的關鍵．