Question

如圖，在邊長為2 （單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它的四個角沿著虛線折起，做成一個正四棱錐的模型．設切去的等腰三角形的高為x m．
（1）求正四棱錐的體積V（x）；
（2）當x為何值時，正四棱錐的體積V（x）取得最大值？

Answer 1

分析：（1）由題意求出棱錐的底面面積以及棱錐的高，即可求正四棱錐的體積V（x）；
（2）通過（1）棱錐的體積的表達式，利用函數的導數求出函數的極值點，說明是函數的最大值點，即可求解當x為何值時，正四棱錐的體積V（x）取得最大值．

解答：（本題滿分10分）
解 （1）設正四棱錐的底面中心為O，一側棱為AN．則
由于切去的是等腰三角形，所以AN=

1+x2

，NO=1-x，…（2分）
在直角三角形AON中，AO=

AN2-NO2

=

1+x2-(1-x)2

=

2x

，…（4分）
所以V（x）=

1

3

•

1

2

•[2（1-x）]²•

2x

=

2 2

3

（1-x）²

x

，（0＜x＜1）．   …（6分）
（不寫0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=

2 2

3

[（2x-2）

x

+

(1-x)2

2 x

]=

2 2

3

（x-1）

5x-1

2 x

，…（8分）
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=

1

5

．
當x∈（0，

1

5

）時，V′（x）＞0，所以V（x）為增函數；
當x∈（

1

5

，1）時，V′（x）＜0，所以V（x）為減函數．
所以函數V（x）在x=

1

5

時取得極大值，此時為V（x）最大值．
答：當x為

1

5

m時，正四棱錐的體積V（x）取得最大值．     …（10分）
說明：按評分標準給分，不寫函數的定義域扣（1分），沒有答扣（1分）．

點評：本題以折疊圖形為依托，考查空間幾何體的體積的求法，通過函數的對數求法函數的值的方法，考查空間想象能力與計算能力；解題中注意函數的定義域，導數的應用．