Question

已知f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4．
（1）當a=3時，解關于x的不等式f（x）≥-1；
（2）若f（x）＜0對一切x∈R恒成立，試確定實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=3代入f（x），即可列出關于x的不等式，求解即可得到不等式f（x）≥-1的解集；
（2）對a進行分類討論，利用二次函數的性質列出不等關系，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=3時，f（x）=x²+2x-4，
∴f（x）≥-1，即x²+2x-4≥-1，即x²+2x-3≥0，
∴x≤-3或x≥1，
∴關于x的不等式f（x）≥-1的解集為{x|x≤-3或x≥1}；
（2）f（x）＜0對一切x∈R恒成立，即（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對一切x∈R恒成立，
①當a-2=0，即a=2時，-4＜0對x∈R恒成立，
∴a=2滿足題意；
②當

a＜0 △=22(a-2)2-4×(-4)×(a-2)＜0

，解得-2＜a＜0．
綜合①②，可得-2＜a＜0或a=2，
故若f（x）＜0對一切x∈R恒成立，實數a的取值范圍為（-2，0）∪{2}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，函數的恒成立問題，同時考查了二次函數的相關性質，研究二次函數時，要抓住考口方向，對稱軸以及判別式等．對于恒成立問題解決的方法常有：參變量分離法，求最值法，數形結合法．屬于基礎題．