Question

【題目】若數(shù)列同時滿足條件：①存在互異的使得（為常數(shù)）；

②當(dāng)且時，對任意都有，則稱數(shù)列為雙底數(shù)列.

（1）判斷以下數(shù)列是否為雙底數(shù)列（只需寫出結(jié)論不必證明）；

①； ②； ③

（2）設(shè)，若數(shù)列是雙底數(shù)列，求實數(shù)的值以及數(shù)列的前項和；

（3）設(shè)，是否存在整數(shù)，使得數(shù)列為雙底數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①③是雙底數(shù)列，②不是雙底數(shù)列(2) （3）存在整數(shù)或，使得數(shù)列為雙底數(shù)列

【解析】試題分析：（1）根據(jù)雙底數(shù)列的定義可判定①③是雙底數(shù)列，②不是雙底數(shù)列；（2）由雙底數(shù)列定義可知，解得， 當(dāng)時，數(shù)列成等差， ，當(dāng)時， ，從而可得結(jié)果；（3）， 若數(shù)列是雙底數(shù)列，則有解（否則不是雙底數(shù)列），即 ，該方程共有四組解，分別驗證是否為雙底數(shù)列即可得結(jié)果.

試題解析：（1）①③是雙底數(shù)列，②不是雙底數(shù)列；

（2）數(shù)列當(dāng)時遞減，當(dāng)時遞增，

由雙底數(shù)列定義可知，解得，

當(dāng)時，數(shù)列成等差， ，

當(dāng)時， ，

綜上， .

（3），

，

若數(shù)列是雙底數(shù)列，則有解（否則不是雙底數(shù)列），

即 ，

得或或或

故當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；

從而 ，數(shù)列不是雙底數(shù)列；

同理可得：

當(dāng)時， ，數(shù)列不是雙底數(shù)列；

當(dāng)時， ，數(shù)列是雙底數(shù)列；

當(dāng)時， ，數(shù)列是雙底數(shù)列；

綜上，存在整數(shù)或，使得數(shù)列為雙底數(shù)列.