Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，從圓C外一點P（x，y）向圓C引切線PM，M為切點，
有PM=PO，（O為坐標原點），求：
（Ⅰ）點P的坐標應滿足什么關系？
（Ⅱ）PM的最小值及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圓切線垂直于過切點的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據勾股定理表示出點P的軌跡方程，
（Ⅱ）由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點的軌跡方程，兩者聯立即可此時P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）∵PM=PO，∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，即2x-4y+3=0，
點P的坐標應滿足的關系是2x-4y+3=0．
（Ⅱ）∵PM=PO，要使PM最小，即求PO最小，由2x-4y+3=0得x=2y-

3

2

PO2=x2+y2=(2y-

3

2

)2+y2=5(y-

3

5

)2+

9

4

-

9

5

當y=

3

5

時，POmin=

3

2 5

，此時P的坐標(-

3

10

，

3

5

)

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，會根據條件求動點的軌跡方程，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．