Question

已知數列{a_n}中a₁=1，且a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+3^k，其中k=1，2，3，…．
（I）求a₃，a₅；
（II）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）由題意知a₂=a₁+（-1）¹=0，a₃=a₂+3¹=3．a₄=a₃+（-1）²=4，a₅=a₄+3²=13．
（II）由題設條件知a_2k+1-a_2k-1=3^k+（-1）^k，a_2k-1-a_2k-3=3^k-1+（-1）^k-1，由此得a_2k+1-a₁=

3

2

（3^k-1）+

1

2

[（-1）^k-1]，于是a_2k+1=

3k+1

2

+

1

2

(-1)k-1.由此可求出{a_n}的通項公式．

解答：解：（I）a₂=a₁+（-1）¹=0，
a₃=a₂+3¹=3．
a₄=a₃+（-1）²=4，
a₅=a₄+3²=13，
所以，a₃=3，a₅=13．
（II）a_2k+1=a_2k+3^k
=a_2k-1+（-1）^k+3^k，
所以a_2k+1-a_2k-1=3^k+（-1）^k，
同理a_2k-1-a_2k-3=3^k-1+（-1）^k-1，
a₃-a₁=3+（-1）．
所以（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）++（a₃-a₁）
=（3^k+3^k-1++3）+[（-1）^k+（-1）^k-1++（-1）]，
由此得a_2k+1-a₁=

3

2

（3^k-1）+

1

2

[（-1）^k-1]，
于是a_2k+1=

3k+1

2

+

1

2

(-1)k-1.
a_2k=a_2k-1+（-1）^k=

3k

2

+

1

2

（-1）^k-1-1+（-1）^k=

3k

2

+

1

2

（-1）^k=1．
{a_n}的通項公式為：
當n為奇數時，a_n=

3 n+1 2

2

+(-1)

n-1

2

×

1

2

-1；
當n為偶數時，an=

3 n 2

2

+(-1)

n

2

×

1

2

-1.

點評：本題主要考查數列，等比數列的概念和基本知識，考查運算能力以及分析、歸納和推理能力．