Question

已知曲線x²+2y²+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設=λ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）原曲線即為（x+2）²+2（y+1）²=2，按向量a=（2，1）平移即是把函數向右平移2個單位，向上平移1個單位后得到曲線C．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由=λ，可得由點M、N在橢圓x²+2y²=2上，代入方程整理可得即y₂=．結合橢圓的性質可知-1≤y₂≤1，代入可求λ的取值范圍．
解答：解：（1）原曲線即為（x+2）²+2（y+1）²=2，則平移后的曲線C為x²+2y²=2，
即+y²=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由于點M、N在橢圓x²+2y²=2上，則
即
消去x₂²得，2λ²+8λy₂+8=2λ²+4λ+2，
即y₂=．
∵-1≤y₂≤1，
∴-1≤≤1．
又∵λ＞0，故解得λ≥．
故λ的取值范圍為[，+∞）．
思考討論本題：若設出直線l的方程y=kx+2，然后與x²+2y²=2聯立，利用韋達定理能求解嗎？（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下．
點評：本題主要考查了曲線的平移，向量共線的坐標表示，直線與橢圓的相交關系的綜合應用，試題的思路比較清晰，但需要考生具備一定的運算能力及邏輯推理能力．