Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N₊）
（1）求a_n的表達式；
（2）若數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，問：滿足Tn＞

100

209

的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），知a_n-a_n-1=2（n≥2），由此能求出a_n．
（2）數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，由題設推出Tn=

n

2n+1

，故

n

2n+1

＞

100

209

，n＞

100

9

，所以滿足Tn＞

100

209

的最小正整數n是12．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）…（2分）
a_n-a_n-1=2（n≥2），
數列{a_n}是以a₁=1為首項，以2為公差的等差數列
∴a_n=2n-1…（6分）
（2）數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，

Tn= 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 anan+1 = 1 1×3 + 1 3×5 +…+ 1 (2n-1)×(2n+1) = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+( 1 5 - 1 7 )+…+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] = 1 2 (1- 1 2n+1 )= n 2n+1

…（10分）
∴

n

2n+1

＞

100

209

，即n＞

100

9

，
∴滿足Tn＞

100

209

的最小正整數n是12…（12分）

點評：本題考查數列通項公式的求法，求數列前n項和的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點題型．解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．