Question

第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分.
如果存在常數使得數列滿足：若是數列中的一項，則也是數列中的一項，稱數列為“兌換數列”，常數是它的“兌換系數”.
（1）若數列：是“兌換系數”為的“兌換數列”，求和的值；
（2）已知有窮等差數列的項數是，所有項之和是，求證：數列是“兌換數列”，并用和表示它的“兌換系數”；
（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論并說明理由.

Answer 1

（1）a=6,m=5；（2）見解析；（3）

本試題主要考查了數列的運用。
解：（1）因為數列：1,2,4(m>4)是“兌換系數”為a的“兌換數列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數列的項，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
（2）設數列的公差為d，因為數列是項數為項的有窮等差數列
若 
即對數列中的任意一項
-------------------6分
同理可得：若，也成立，
由“兌換數列”的定義可知，數列是 “兌換數列”；-------------------8分
又因為數列所有項之和是B，所以，即------10分
（3）假設存在這樣的等比數列，設它的公比為q,(q>1)，
因為數列為遞增數列，所以

又因為數列為“兌換數列”，則，所以是正整數
故數列必為有窮數列，不妨設項數為n項，------------------12分
則----------14分
①   n=3則有，又，由此得q=1，與q>1矛盾；-------------------15分
②若。由，
即()，故q=1，與q>1矛盾；-------------------17分
綜合①②得，不存在滿足條件的數列。-------------------18分