Question

（1）已知x＜

5

4

，求函數y=4x-2+

1

4x-5

的最大值
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）化簡可得函數y=3-（5-4x+

1

5-4x

），而由基本不等式可得5-4x+

1

5-4x

的最小值為2，從而求得函數y=3-（5-4x+

1

5-4x

） 的最大值．
（2）由條件利用基本不等式可得

bc

a

+

ac

b

≥2c，

ac

b

+

ab

c

≥2a，

bc

a

+

ab

c

≥2b，把這三個不等式相加在同時除以2，即可正得不等式成立．

解答：解：（1）∵已知x＜

5

4

，函數y=4x-2+

1

4x-5

=4x-5+

1

4x-5

+3=3-（5-4x+

1

5-4x

），
而由基本不等式可得 （5-4x）+

1

5-4x

≥2，當且僅當 5-4x=

1

5-4x

，即x=1時，等號成立，
故5-4x+

1

5-4x

的最小值為2，
故函數y=3-（5-4x+

1

5-4x

） 的最大值為 3-2=1．
（2）∵已知a＞0，b＞0，c＞0，∴

bc

a

+

ac

b

≥2c，

ac

b

+

ab

c

≥2a，

bc

a

+

ab

c

≥2b，當且僅當a=b=c時，取等號．
把這三個不等式相加可得 2•

bc

a

+2•

ac

b

+2•

ab

c

≥2a+2b+2c，
∴

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

≥a+b+c成立．

點評：本題主要考查利用基本不等式求函數的最值，利用基本不等式證明不等式，注意檢驗等號成立的條件以及不等式的使用條件，屬于中檔題．