Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x-3y+1≥0 2x-3y-1≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則正數(shù)a，b滿足的關(guān)系是

2a+b=1

，

1

a

+

2

b

的最小值是

8

．

Answer 1

分析：先由約束條件畫出可行域，如圖所示，找出最優(yōu)解B（2，1），進(jìn)而使用基本不等式的性質(zhì)即可求出最小值．

解答：解：由x，y滿足約束條件

x-3y+1≥0 2x-3y-1≤0 x≥0，y≥0

，畫出可行域如圖所示：聯(lián)立

x-3y+1=0 x-3y-1=0

解得

x=2 y=1

，即B（2，1）．
∵a＞0，b＞0，∴-

a

b

＜0，∴當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點B（2，1）時，

z

b

取得最大值，即z取得最大值1，
∴2a+b=1．
∴

1

a

+

2

b

=(2a+b)(

1

a

+

2

b

)=2+2+

b

a

+

4a

b

≥4+2

b a × 4a b

=8，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=

1

2

時取等號．
故答案為2a+b=1，8．

點評：由約束條件畫出可行域并找出最優(yōu)解及靈活使用基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．