Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=-1，
（1）試求常數a、b、c的值；
（2）試判斷x=±1是函數的極大值還是極小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）=0的根建立起由極值點x=±1所確定的相關等式，運用待定系數法確定a、b、c的值．
（2）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負研究函數的增減性得到函數的極值．

解答：（1）解：由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①
3a-2b+c=0．②
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

．
（2）解：f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，∴f′（x）=

3

2

x²-

3

2

=

3

2

（x-1）（x+1）．
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0；當-1＜x＜1時，f′（x）＜0．
∴x=-1時，f（x）有極大值；x=1時，f（x）有極小值．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及用待定系數法求函數解析式的能力．