Question

【題目】已知函數.（其中為自然對數的底數）

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）設，若存在唯一的零點，且對滿足條件的不等式恒成立，求實數的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）就三種情況利用導數討論的單調性及其相應的最小值后可得：時，成立，時，成立，對后一種情況構建新函數，利用導數可求的最大值即可.

（2）求出，它是一個減函數且值域，故存在唯一的零點，再由題設條件可以得到，，用表示后可把不等式化為，構建新函數，就兩類情況利用導數討論函數的單調性后可得實數的取值，注意后者的進一步討論以與的大小為分類標準.

（1），

當時，，在上單調遞增，取，

當時，矛盾；

當時，，

只要，即，此時；

當時，令，，

所以在單調遞增，在單調遞減，

，

所以，即，

此時，

令，，

令，，

當，，在上為增函數；

當，，在上為減函數．

所以，所以，故的最大值為．

（2）在單調遞減且在的值域為，

設的唯一的零點為，則，，

即

所以，，

由恒成立，則，

得在上恒成立．

令，，

．

若，，在上為增函數，注意到，知當時，，矛盾；

當時，，為增函數，

若，則當時，，，為減函數，

所以時，總有，矛盾；

若，則當時，，，為增函數，

所以時，總有，矛盾；

所以即，此時當時，，為增函數，，

當時，，為減函數，而，

所以有唯一的零點.

綜上，的取值集合為 ．